퇴사 시 남은 연차 사용과 수당 지급 문제 해결 방법

안녕하세요, 직장 퇴사와 남은 연차 처리 문제로 상담을 받고 싶습니다.저는 IT 스타트업에서개발자로 근무 중인 근로자입니다.현재 회사 대표와 퇴사에 대해 구두로 여러 차례 이야기를 나눴고, 퇴사 자체는 서로 합의된 상태입니다.어제 대표와 다시 이야기했을 때, 대표가 “이번 주나 다음 주 중으로 나가는 걸로 하자”고 말했고, 대략적인 시기만 말했지 구체적인 마지막 근무일·퇴사일 날짜는 정하지 않았습니다.회사는 지금 기준으로 직원 6명 정도가 근무 중이고, 그 안에 인턴도 포함되어 있습니다.저는 현재 남은 연차가 약 19.5일 정도이고, 이 연차를 가능한 한 실제로 소진한 뒤 퇴사하고 싶습니다. 이직 준비와 휴식을 위한 기간이 필요합니다.그런데 대표는 “연차는 무조건 수당으로만 줄 것이고, 연차를 사용해서 쉬는 것은 안 된다”고 말하며, 연차 소진을 허용하지 않으려고 합니다.회사에서는 지금까지 연차사용촉진제도와 관련된 서면 통보나 절차(미사용 연차 안내, 사용 시기 지정 공문 등)를 한 적은 없습니다. 이 상황에서 다음 사항들을 확인하고 싶습니다. 이런 경우 근로자인 제가 남은 연차를 실제로 사용하겠다고 요구할 법적 권리가 있는지, 그리고 사용자가 일방적으로 연차 사용을 막고 “수당으로만 지급하겠다”고 하는 것이 근로기준법 위반에 해당하는지 여부인턴도 포함해서 직원이 6명인 현재 상황에서, 연차 규정이 적용되는 상시 5인 이상 사업장으로 보는 것이 맞는지, 인턴도 상시근로자 수 계산에 포함되는지회사가 계속해서 “연차 소진은 안 되고 수당 지급만 가능하다”는 입장을 유지할 경우, 제가 노동청에 진정 또는 신고를 하려면 어떤 절차를 밟아야 하는지, 그리고 그때 근로계약서, 급여명세서, 출근기록, 조직도 등 어떤 자료를 준비하는 것이 좋은지위 세 가지에 대해 법적으로 어떻게 판단되는지와, 근로자로서 실제로 취할 수 있는 대응 방법을 알고 싶습니다. 안내 부탁드립니다.