배달기사 음식파손에 따른 손해배상청구 가능성

현재 배달 대행업체를 이용 중입니다. 바쁜 날 기사가 몇 없다는 이유로 음식 여러 개를 배달통에 한 번에 꾸역꾸역 담아 배달을 가다가 음식이 파손되어 손님에게 연락이 왔고, 손님이 원하시는대로 환불 처리 후 기사에게 연락을 하였으나 본인은 손님께 드릴 때 봉투 겉으로 파손 티가 나지 않아 파손인줄 몰랐다는 이유로 배상을 거부하고 있습니다. 저희 매장은 반투명 흰색 봉투를 사용 중인데, 본인이 봤을 땐 손님한테 전달 드릴 당시 전혀 파손되지 않았었다고 주장하고, 음식 처분에 대해 묻길래 손님 자체폐기 권장드렸다고 하자 본인이 배상하면 본인 음식인데 왜 자체폐기를 하라고 했냐, 회수하겠다고 해서 손님께 다시 문 앞에 두라고 말씀드렸으나 어떤 이유에선지 회수조차 하지 않은 상태입니다. 손님께서 파손 음식 사진을 보내주셨는데 용기 파손을 떠나 음식이 전부 다 한 쪽으로 쏠려있는 걸로 보아 배달을 험하게 간 기사 책임인데도 불구하고 배상을 해주지 않고 있습니다. 소고기를 취급하는 가게라 금액대가 보통 배달들보단 조금 있는 편이라 그런지 해당 대행지점 대표에게까지 말씀드렸으나 대표는 본인이 배상해줄 수 없다고 하고 기사는 잠수인 상태입니다. 손해배상 청구 소송이 가능할까요? 불가능하다면 어떻게 해야 배상을 받을 수 있는지 알려주세요. 부탁드립니다. 피해자만 스트레스 받고 있네요 ㅜ