어린이집에서 발생한 화상 사고에 대한 대응 방안

안녕하세요. 지금으로부터 4년전인 2020년 4월경 아이가 다니던 어린이집에서 팝콘 만드는 실습을 하다가 보육교사의 실수로 인해 가열된 팝콘알이 아이의 목과 어깨사이에 떨어져 심재성 2도의 화상을 입게 되었습니다. 당시 어린이집은 화상치료에 대한 지식이 없고 초기대응을 바르게 하지 못했고 병원까지 1시간이 넘도록 치료가 지연되었습니다. 당시 어린이집 원장과 보육교사는 해당 사고에 대해 미숙한 실습준비에 대해 사과를 하였으며 1년동안 통원비 및 치료비를 지불하였습니다. 2년이 되는 시점에 어린이집에서는 안전공제회에 접수를 해놓았으니, 그쪽으로 치료에 대한 지원을 받으라고 했습니다. 안전공제회에서는 손해사정사를 고용하였고 손해사정사는 향후 치료비 합의에 대한 의사를 물어보았고, 합의단계에서 치료중이던 화상병원에서 향후치료비추정서를 발급받았으며, 연고 및 흉터치료에 대한 치료비 추정액이 410만원이 나왔습니다. 이를 손해사정사에게 전달하였으나, 공제회에서 인정하는 치료비 금액은 370만원과 위자료 40만원이 전부라고 합니다. 화상으로 인해 흉터가 남은 상태에서 매일 상처관리하느라 불편해하던 아이와 이를 관리하고 신경써야했던 부모의 그 고생이 고작 40만원이라는게 이해가 되질 않습니다. 이러한 상황에서 할 수 있는 가장 확실한 대책을 알고 싶습니다. 1. 실무상으로 어린이 공제회에서 제시한 금액대로만 치료비를 받을 수 있고, 이에 대한 합의가 아예 불가능한 것인지. 가능하다면 어떠한 절차를 통해 할 수 있는지. 2. 상기 질문에 이어 통상 어린이집 상기 질문에 이어 통상 어린이집공제회등을 상대로 위자료에 대한 부분을 합당하게 받고 싶은데 소송절차를 통하지 않고 합의를 이끌어낼 수 있는 방법이 있는지. 3. 형사사건상 시효는 남아있을 것으로 알고 있지만 현재 시점에 어린이집원장과 보육교사를 상대로 형사고소를 진행했을 때 통상 형사합의를 적절하게 할 수 있는지. 이 사항에 대해 명확하게 답변해 주실 수 있는 변호사님을 찾습니다.