식당에서 입은 화상 보상 관련 질문

안녕하세요. 6월 27일 저녁 9시 30분경에 서울에 있는 한 식당에서 식사를 하다가 식당 점원의 부주의로 인하여 뜨거운 뚝배기가 팔에 직접 닿아 화상을 입었습니다. 그날에는 일단 따로 조치를 취하거나 보상을 요구하지는 않았습니다. 오늘 근데 경과를 지켜보다가 상처를 보니 흉이 남을 것 같아서 보상을 청구하고 싶은데 혹시 가능할까요? 만약에 가능하다면 어떤식으로 절차를 진행해야 하는건가요? 먼저 병원에 가서 치료비를 자비로 지불하고 그 다음에 진단서를 끊어서 식당에다가 가져다주면 되는건가요? 그리고 혹시 식당쪽에서 전액 지불을 할 수 없겠다고 말을 한다면 어떻게 조치를 취해야 하는지도 알려주시면 감사하겠습니다. 답변 기다리겠습니다 :)